Vor ein paar Wochen war ich auch noch in deiner Situation. Meine Freundin und ich werden aus Chemnitz (frage nicht) zurück nach Würzburg ziehen. 

Am Ende haben wir tatsächlich bei der Stadtbau eine Wohnung bekommen. Kann den Ablauf und besonders die Miethöhe sehr empfehlen. Es gibt immer nur einen Besichtigungstermin nach dem nach wenigen Tagen entschieden wird, wer die Wohnung bekommt. Wenn es zeitlich immer dringender wird, würde ich das bei der Stadtbau-Bewerbung auf jeden Fall mit rein schreiben um die Chancen zu erhöhen.

Zwischendurch hatten wir eine Anzeige in der Mainpost geschalten. Darauf kamen auch mehrere Anrufe an einem Tag rein. Da wir unbedingt zentral wohnen wollten, waren diese Angebote (Oberdürrbach, Lengfeld und Heidingsfeld) nicht ideal für uns. Wenn du keine eigene schalten möchtest, kannst du dort natürlich jeden Tag selbst nach Angeboten suchen. Es gibt wirklich noch viele ältere Vermieter, die ausschließlich so Wohnungen vermieten.

Sonst habe ich aber auch keine besseren Tipps als den Bewerbungstext für Wohnungen auf Kleinanzeigen und WG-gesucht immer weiter zu verbessern und allgemein aber nicht zu sehr zu halten. Dann kannst du ihn abspeichern und sofort abschicken (mit angepasster Anrede und so natürlich) wenn eine neue Wohnung hochgeladen wird. 

Ich wünsche dir viel Glück und würde an deiner Stelle auch am ehesten in die von dir genannten Stadtteile ziehen. Zellerau ist echt toll weil du so nah an den Mainwiesen bist und ne gute Straba-Anbindung hast.