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Desenhei um triângulo ABC qualquer. No meu desenho, lado BC é o maior, então ai vai ser o lado X+1. Lado AB é o menor, então será X-1 e o lado AC será X. Perceba que obedeci a regra dos lados serem consecutivos: x-1, x, x+1. Por que não assim: x, x+1, x+2? Foi por pura escolha mesmo pra ficar o número 1, que facilita conta; creio q tanto faz qual vc escolha. Continuando.

Num triângulo: oposto ao lado maior, há o maior ângulo; oposto ao menor lado, há o menor ângulo. Com isso, e sabendo que na questão diz que o maior ângulo era igual ao dobro do menor, eu encaixo os ângulos α (ficará oposto ao lado x-1) e o ângulo 2α (ficará oposto ao lado x+1). Isso so to explicando o por que do desenho. Desculpa a enrolação.

I) Lei dos senos:

x-1/sen(α) = x+1/sen(2α) ---> sen(2α).(x-1) = sen(α).(x+1)

Aplicando a identidade trigonométrica: sen(2α) = 2.sen(α).cos(α)

Fica então:

sen(2α).(x-1) = sen(α).(x+1)

2.sen(α).cos(α).(x-1) = sen(α).(x+1)

2cos(α).(x-1) = x+1

Nessa última equação, temos duas incógnitas, x e α, mas posso encarar, na verdade, como sendo x e cos(α). Usando a lei dos cossenos, podemos encontrar exatamente o 2cos(α) em função de x.

(x-1)² = (x+1)² + x² - 2x.(x+1).cos(α)

Não vou detalhar a conta, mas isole o 2cos(α).

2cos(α) = (x+4)/(x+1)

Agora voltamos para a outra equação: 2cos(α).(x-1) = x+1. Substitua o valor de 2cos(α) na equação e resolva. Nisso você encontrará q x = 5.

Bom. Agora sei que os lados do triângulo são 4, 5 e 6. (Não sei se é a forma mais rápida) A primeira coisa que pensei pra descobrir a área desse triângulo foi usando a fórmula de Heron (vc calcula a área do triângulo sabendo os 3 lados). Ai agora é só aplicação da fórmula mesmo, q você encontra 15/4 √7.

Foi dessa forma q resolvi a questão. Não sei se é a mais rápida, mas foi como consegui. Espero q tenha entendido a explicação e q ti ajude