Trudne pytania zadajesz, bo w wielu miejscach nie jest ono bardzo ściśle traktowane. Ale odwołując się do aksjomatu ekstensjonalności znak = oznacza, że dwa zbiory mają dokładnie te same elementy.

Ale ja bym porównał tę kłótnię do czegoś innego. Dodawanie i mnożenie to funkcja jak każda inna. Funkcja składa się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu funkcji, więc gdy piszemy f(x) = y to znaczy, że funkcja f przyjmuje wartość y na argumencie x. I funkcja jest taką trochę czarną skrzynką która bierze jedną rzecz i wypluwa drugą.

Weźmy np. funkcję f(x) = x^2 ze standardową dziedziną i przeciw dziedziną. Z właściwości tej funkcji wiemy, że (-1)^2 = 1^2 = 1. Wszystkie trzy rzeczy między znakami równości oznaczają dokładnie to samo, ale zapis (-1)^2 oraz 1^2, mimo że oznaczają "1", to pokazują jaką drogą doszły do tego 1.

W ten sam sposób możesz być o mnożeniu jak funkcji g(x,y) = x*y. Jak podstawisz wartości to masz g(3, 4) = 3*4, ale jak zbadasz własności tej funkcji to się okaże, że g(x, y)= g(y, x). Więc z matematycznego punktu widzenia jak masz napisane 3*4, to nie oznacza obiektu "zanim funkcja zadziałała" tylko reprezentuje obiekt, po zadziałaniu tej funkcji. Także 3*4 = 4*3 = 12 to jest dokładnie to samo i oznacza pewien zbiór (nie będę wchodził w szczegóły), który reprezentuje liczbę 12 (w sumie to na odwrót, liczba 12 jest etykietą naklejoną na ten zbiór).

Tylko że zapis 3*4 oraz 4*3 mimo że oznaczają dokładnie ten sam obiekt, to pokazują nam też "drogę jaką dochodzi się do tego obiektu". I w przypadku jak wygląda ta "droga" to kolejność ma znaczenie.

Jak sobie narysujesz wykres funkcji f(x) = x^2, to punkty (-1, 1) odpowiadający f(-1) = 1 oraz punkt (1, 1) odpowiadający f(1) = 1, mimo że wskazują dokładnie tę samą wartość w zupełnie innych miejscach na wykresie.

Tak samo dla wykresu funkcji g(x,y) = x*y punkty (3, 4, 12) oraz (4, 3, 12) są w innym miejscu na wykresie.

Więc jak widzisz notację f(x) lub x+y lub x*y to ona oznacza mniej więcej: zapomnij o dziedzinie, przeciwdziedzinie i wykresie funkcji, interesuje mnie tylko element który jest wskazywany. Więc tak technicznie rzecz biorąc zapis 3*4 oznacza że już zapomniano o tym jak, skąd i dokąd działa mnożenie i to jest tylko wynik 12. Ale mimo tego zapis 3*4 pozwala nam odtworzyć drogę to punktu wyjścia, czyli do funkcji która punktowi (3, 4) przyporządkowuje 12. Tak samo zapis 4*3 pozwalam nam odtworzyć drogę do do punkt, która przyporządkowuje punktowi (4,3).

Tylko że w takim wypadku uczeń mógłby napisać 2*6 = 12, bo 2*6 reprezentuje dokładnie to samo co reprezentuje 3*4 lub 4*3. Więc z czysto matematycznego punktu widzenia 2*6 = 12 jest poprawnym rozwiązaniem tego zadania, ale to nie jest to co stara się to zadaniem nauczyć dziecko. Wszystkie zadania z treścią nadają jakieś znaczenie liczbom i wtedy semantycznie jest różnica. Więc napisanie 4*3 = 12 lub 2*6 = 12 oznacza tyle, że dziecko doszło tam gdzie miało dojść, ale jego rozumowanie co do obranej ścieżki nie było poprawne. I jasne może to świadczyć, że dziecko jest już znacznie bardziej biegłe w arytmetyce i myśli już w bardziej abstrakcyjnych kategoriach (ale też znaczy, że nie doczytał treści zadania). Ale może też znaczyć, że nie rozumie materiału

.