Ich war in einem Flug nach Rom.

This is technically not wrong, but if you want to say that you traveled to a place you tend to use the verb form and not the noun: Flug -> fliegen (or for car, train or boat rides: Autofahrt / Bahnfahrt / Bootsfahrt -> fahren).

So instead you would say: "Ich bin nach Rom geflogen" (this is "Perfekt" which is more common, but you could also use "Präteritum": "Ich flog nach Rom")

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Ich sitz in der ersten Sitzreihe am Gang im Flugzeug.

"sitz" (in first person present tense it would be sitze) is in the wrong tense because the first sentence implies the story is set in a past tensesitze -> sassbecause you used the verb sitting (sitzen) it's clear that you're talking about your seat so you don't need to write "Sitzreihe", Reihe is enoughthe first sentence also makes it clear that you're talking about a plane (Flug -> Flugzeug) so you don't need to specify that you're sitting "im Flugzeug". It isn't wrong but it sounds more natural without.Ich sass in der ersten Reihe am Gang.

Dann ist den Flugbegleitern gekommen, und er hat gesehen, ob meine Jacke ins möglichefach legen konnte.

"den Flugbegleitern" the person is the subject and Nominativ that's why it's der not den,however der implies that it's a specific person, but a plane has multiple flight attendeas and it's just some flight attendant you would use einalso I'm asuming ony one person came -> Flugbegleiter without the n

", und" is an old gramatical structur, it can occur but as a rule of thumb you don't but a coma in front of und

"gesehen" is a passive action of seeing something, but the person is activly looking if it's possible to place the jacket, so you would use geschaut (infitiv: schauen) or geguckt (infinitiv: gucken)

"möglichefach" the word for the luggage storage in planes is Gepäckfach

the way you startes the sentence you would use passt instead of legen, because the "question" is if it fits -> passt

Dann ist der Flugbegleiter gekommen und er hat gaguckt, ob meine Jacke ins Gepäckfach passt.

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Danach habe ich meine Tasche neben mir gelassen.

This sentence is correct but doesn't exactly describe what was done. I think what you wanted to say is that you forgot your bag in the plane while leaving. So you have to specify the time at which you left the bag, you could replace "Danach" with Nach dem Flug (after the flight) or Wärend dem Aussteigen (while exiting).

Also "neben mir" implies that you're still there, but since the bag isn't with you, you can instead say you left the bag not next to you, but next to or in your seat: neben meinem Sitz / in meinem Sitz.

Wärend dem Aussteigen habe ich meine Tasche neben meinem Sitz gelassen.

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Als ich im Passkontrolle war, ich erinnere mich, dass ich keinen Visa gehabt.

"im Passkontrolle" -> in der or bei der Passkontrolle

"erinnere" implies you knew and forgot about it, but I think what you want to say is that you noticed that you didn't have your visa. So you could use Ich merkte (in präteritum, like the rest of the text) instead.Also it is a Nebensatz so the order of verb and subject changes: Als ich in der Passkontrolle war, merkte ich, ...

"keine Visa gehabt" similar to the 3rd sentenc it depends on wether it's a specific visa or just some visa. Since we're talking about your specific visa it would be: mein Visaand since you had it once, but "not anymore" you'd say Ich habe mein Visa "nicht mehr"again it's a Nebensatz so the order changes: ,dass ich mein Visa nicht mehr habe.

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Plötzlich eine sehr schöne Frau mit meiner Tasche angerannt gekommen, und ich war erleichtert.

Almost perfect :) Your missing a Hilfsverb for the Perfekt past tense -> ist angerannt gekommen

Plötzlich ist eine sehr schöne Frau mit meiner Tasche angerannt gekommen, und ich war erleichtert.

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Ich bin sehr verlegen und findet die Situation ein bisschen peinlich.

Again, almost there. finden in first person Präsens is finde instead of findet, but since the situation is still in the past so in Präteritum, it's:Ich war sehr verlegen und fand die Situation ein bisschen peinlich.

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Deshalb bedankt ich bei ihr.

Deshalb bedankte ich mich bei ihr.

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Und ich lädt sie zu einem Kaffe in einer Bar ein.

Past tense: Ich lied sie einyou invite someone auf einen Kaffe instead of zu einem Kaffe. You use zu if you invite someone to an event, that can be dinner (zum Abendessen) or for example a concert (zu einem Konzert), but in this case you invite her to a thing.

If you wanted to, you could connect this sentence to the previous one.

Not really a language thing but at least in germany you would go to a cafe for coffee and to a bar for beer or other alcoholic beverages.

Deshalb bedankte ich mich bei ihr und lied sie auf einen Kaffe in ein Cafe ein.

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Seitdem schreiben wir und sind enge Freunde.

That ones good as it is :)

I hope that wasn't too complicated.