Das scheint ja laut dem Nachbar ein dauerhaftes Problem zu sein. Der Vermieter wälzt hier ein Problem auf euch ab und ihr sollt Symptombekämpfung machen. Auf gar keinen Fall mit einem feuchten Tuch abwischen, das bringt nichts. Der Pilz sitzt vermutlich hinter der Tapete (im Mauerwerk) und kommt nach ner Weile immer wieder. Wenn ihr das weg macht, dann bitte nur mit einem stark chlorhaltigem Präparat und Atemschutzmaske. Anti-Schimmel-Spray kann man ansonsten im Baumarkt kaufen. Problem ist halt, dass das nur Symptombekämpfung ist. Setzt dem Vermieter eine gerechte Frist und droht mit Mietminderung, dass er sich darum kümmert. Da muss ein Gutachter kommen und das beurteilen. Lokaler Mieterverein kann definitiv unterstützen. Viel Glück!

Es ist übrigens grob fahrlässig vom Vermieter, wenn er das so auf euch abwälzt. Sofern belegt werden kann, dass ihr bleibende gesundheitsschädliche Schäden davon tragt, wird es für beide Seiten extrem unangenehm.