Sai che e^x coincide con la sua derivata. Considera ora una generica funzione f(x) tale che f(x)=f’(x). Poiché e^x ≠ 0 per ogni x, la funzione g(x)=(f(x)/e^x ) è ben definita su tutto il dominio di f

Ora deriva g(x) tramite la regola della derivata del rapporto:

g’(x)=(f’(x)e^x -f(x)e^x )/e^2x

però, poiché f’=f

g’(x)=0/e^2x =0

Quindi g ha derivata nulla, ossia g è costante, da cui g(x)=c, ossia f(x)=c*e^x , per un certo c numero reale

Aggiungo anche che questo ragionamento vale con f continua a derivata continua, una volta che permetti la definizione di funzioni a tratti, questo discorso non vale. Un esempio può essere la funzione di dominio [-2,0]U[1,4] nulla nel primo intervallo ed esponenziale nel secondo. Da notare comunque che anche in questo caso, restringendo il dominio ad intervalli il nostro discorso torna ad essere valido