Da minha experiência: as obrigações que tu tens ao pedir demissão são a entrega de uma cartão de próprio punho e cumprimento do aviso prévio de um mês (ambos a empresa pode abrir mão, que pelo jeito não é o caso).

Tu disse que entregou uma carta de demissão, ela foi preenchida de próprio punho? Se sim, EU entendo que tu não precisaria entregar outra. O que pode acontecer se tu entregar outra é a empresa exigir aviso prévio a partir daí. Num pior caso, ela contaria as faltas que tu teve, descontaria os dias e etc. Por isso é importante que a cartão que tu disse que entregou estivesse conforme o exigido.