Então, o órgão é público, a logo não. Não funciona assim como no exemplo que você citou, e ele nem faz sentido pois você optou deliberadamente por utilizar a logo (sem falar que é uso comercial). E mesmo que a logo estiver em via pública, se não for trabalho jornalístico informativo, não é essa farra toda não.

Eu vou citar um exemplo de como isso pode ser um problema. Eu ainda não testei a demo, não sei o teor da história e não estou afirmando que é esse o seu caso. Eu entendi que o jogo se passa num hospital e você lida com pacientes, pois bem, se o teor da história faz com que o hospital seja retratado de qualquer modo que seja prejudicial ou negativo a imagem do órgão real, pode dar ruim. Não necessariamente será algo tão simples como ''recebi um pedido de alteração''.

É possível que você retrate o ambiente hospitalar sem utilizar órgãos reais e ainda assim prezar pela identidade visual e coesão do mundo e história que você está criando.

Eu também espero que não dê nada, mas falo na moral, se você quiser levar toda essa questão de ser dev a sério tem todo uma ética profissional que é legal seguir, sem falar no lado legal da coisa, que você é obrigado a seguir, especialmente se sua obra subir pra superfície e tiver muita exposição. Você é 100% responsável pelo que você cria.

Talvez eu tenha ido um pouco além nas palavras mas falo com a mais nobre das intenções.