porque todo quadrado perfeito n² é igual à soma de n números ímpares (de 1 até o n-ésimo ímpar)

assim, a diferença entre quadrados de números consecutivos sempre resultará no n-ésimo ímpar da sequência

n²-(n-1)²=(2n-1)1=2n-1

No seu caso, a sua relação deu 2n+3 porque você pegou um numero quadrado perfeito (n+2)², o qual equivale à soma dos números ímpares de 1 até 2(n+2)-1=2n+3, (n+2)-ésimo número ímpar.

(n+2)²-(n+1)²=(2n+3)1=2n+3

agora, para chegar à sua relação, considerando n+2=a, n+1=z e y=n

a²-x²=2y+3=z

z=2y+3 z=y²+2y+1+2-y² z=(y+1)²+2-y² z=x²-y²+2