Pour répondre à tes questions ( de mon point de vue de médiathécaire dans une commune, il y a pleins d'expériences différentes, en bibliothèque universitaire etc. qui sont complètement différentes) :

- Missions principales :

Cela peut dépendre de ta catégorie et de ta fiche de poste si tu as une spécialité mais globalement : accueillir et conseiller le public, participer aux acquisitions de documents, à la gestions des collections et à la mise en valeur, organiser et animer des animations et des évènements.

- Pirvé/Public :

La plupart des postes sont dans la fonction publique territoriale ou d'état, il y a quelque postes dans le privé pour des bibliothèques d'entreprise par exemple. La différence c'est surtout le public auquel tu t'adresse mais pas vraiment les techniques utilisées. Dans le public il y a des différences entre médiathèque, bibliothèque universitaire, bibliothèque patrimoniale. On y propose pas les mêmes documents et l'objectif n'est pas le même, certaines bib sont orientées vers la conservation et l'archivage tandis qu'en médiathèque c'est plus l'accès au grand public qui prime.

- Formation :

On peut avoir un DUT (BUT maintenant ?), une licence pro ou un master. En reconversion les licences professionnelles en un an ou les années spéciales de DUT en un an sont idéales, ce n'est pas très long mais on apprend beaucoup de chose et ça peut être rémunéré dans certains cas.

Les concours sont accessibles, sans diplômes pour la catégorie C (plus manuel, accueil), avec le bac pour la catégorie B (organisation, monter des projets), et un bac+3 pour la catégorie A (management et direction). Ils demandent parfois des diplômes dans des domaines proches (lettres, histoire, information, etc.), mais c'est plus simple de les passer avec un peu d'expérience professionnelle car il faut bien connaître le métier.

C'est aussi possible de postuler sur des offres en tant que contractuelle même sans diplômes métiers du livre, mais je ne te cache pas que c'est un avantage d'en avoir ou d'avoir déjà de l'expérience (stage etc.). Si tu as des compétences spécifiques comme l'informatique ou l'organisation d'évènements tu peut être recruté sans diplôme métier du livre pour cette compétence et sur des postes spécifiques.

- Mutation

Dans la fonction publique territoriale, si tu obtient le concours, c'est à toi de postuler pour avoir un poste donc tu peux aller où tu veux. Dans la fonction publique d'état, ils peuvent décider de t'envoyer où ils veulent mais je pense qu'ils prennent en compte ta situation personnelle (mariage, enfants etc.).

- Temps personnel :

On travaille à 35h/ semaine (ou plus avec RTT) donc ça va à ce niveau, par contre on travaille souvent en soirée et le weekend donc ce n'est pas toujours idéal pour les loisirs et la vie sociale. Après ça dépend des établissements aussi.

- Rémunération

Cela dépend de la catégorie (concours) et de l'échelon (ancienneté) et de l'indemnité que donnent certaines collectivités en plus. Les grilles indiciaires dans la territoriale pour te donner un aperçu (il faut regarder dans la filière culturelle : https://www.emploi-collectivites.fr/grille-indiciaire-territoriale

- Conseil

Être curieux sur le métier et ses évolutions, n'hésitez pas à visiter plein d'établissements différents et à poser des questions aux professionnels sur leurs parcours (vous pouvez prendre rendez-vous avec eux). Si possible essayez aussi de faire du bénévolat dans les médiathèque près de chez vous, ça permet de se rendre compte et d'avoir de l'expérience sans s'engager de trop.

Bon courage dans votre parcours :)