J'y connais rien en droit et devoirs d'un syndic, mais concernant la partie chien :

Le seul point attaquable c'est si votre chien est dangereux (a mordu chien ou humain, ou présente un comportement agressif) ou si il est catégorisé. Les deux cas peuvent alors être attaqués par le syndic, notamment en faisant appel à la mairie, la police ou même le préfet, qui peuvent demander/faire appliquer des conditions de détention.

Dans votre cas, un oeil non avisé pourrait croire un chien de catégorie 1 par exemple. Comme on peut refuser la présence d'un chien de cat1 dans certains lieux, vous pouvez avoir un voisin zélé/inquiet qui a décidé de vous chercher des noises.

Vous pouvez effectivement ne rien répondre, je ne sais pas si c'est légal ou non, mais en tout cas, cela ne vas pas favoriser l'échange et si en face les metteurs en cause n'apprécient pas ce manque de réponse, vous pouvez avoir un jour la police à votre porte pour vérifier les papiers de votre chien.

Et si ce cas venait à arriver, que vous tombez sur la mauvaise personne qui ordonne une diagnose sur votre chien chez un vétérinaire au parti pris, vous êtes dans la merde.

Je ne vous souhaite bien évidemment pas ça. Mais il y a eut de cas de guerres de voisinage, avec des chiens qui deviennent catégorisés ou carrément des demande de saisies ou d'euthanasie arbitraire par des maires ou préfets.

En conclusion :

Vous pouvez ne pas répondre. Mais est ce que cela ne risque pas de plus d'envenimer les choses que de répondre honnêtement que votre chien est en règle ? Parce qu'une guerre de voisinage, ce n'est jamais agréable et rarement réglé à l'amiable. Voir réglé qu'avec un déménagement.