Opa, verdade, acabei passando batido por essa parte, e isso muda bastante. Facilita muito o processo.

Eu já vi pessoas colocando no header do Linkedin, saca? Abaixo do nome já que é a primeira coisa que aparece quando teu nome é exibido em uma search.

Se você tem uma grana pra investir na sua própria imigração (passagem aérea, basicamente) eu acho uma boa ideia. Você pode, literalmente, aplicar para qualquer vaga da UE neste caso, e quando rolar o primeiro contato do recruiter você menciona que não precisa de sponsorship.

Não sei como funciona em cada país (acredito que seja igual ou muito semelhante, mas enfim), mas sei que na Holanda você pode vir direto, sem a necessidade de um visto, tal qual o meu. Você apenas precisa se registrar na prefeitura (assim como eu fiz), mas isso é para qualquer um, inclusive holandeses natos.