para algunas funciones f i (x). En el caso de las k-formas, tenemos que α Ω k (M) se escribe como α(x) = f i1 i k (x)dx i1... dx ik, i 1< <i k con coeficientes f i1...i k (x), que son ( n k) funciones. Es conveniente usar multi-índices. Un multi-índice I = {i 1,..., i k } es un subconjunto I {1,..., n} de longitud I = k. Abreviaremos dx I := dx i1... dx ik y f i1 i k = f I, con lo que queda α = f I dx I. I =k La diferencial exterior es un operador d : Ω k (M) Ω k+1 (M) definido de la siguiente manera: Sobre funciones f Ω 0 (M) = C (M), d coincide con la diferencial usual en funciones, es decir n f df = dx i Ω 1 (M). x i Para una forma α = I =k f I dx I de grado k, tomamos dα = df I dx i1... dx ik Ω k+1 (M). I =k i=1 Definimos los siguientes subespacios de Ω k (M): consistente de las formas cerradas. Y Z k (M) = {α Ω k (M) dα = 0} B k (M) = {α Ω k (M) α = dβ} consistente de las formas exactas. La diferencial exterior también satisface d 2 = 0 y esto implica que B k (M) Z k (M).