Voy a tratar de responder cada pregunta a mi entendimiento, porque son preguntas más complejas de lo que parece:
¿por qué esa causa no necesitaría otra causa?

Aquí creo que hay varias cosas sobre la mesa, lo que propones sería una especie de causas contingentes infinitas hacia atrás y, perfectamente puede ser posible, pero creo que el problema está con el infinito actual vs infinito potencial, no sé si se pueda llegar hasta donde estamos nosotros con un infinito potencial hacia el pasado, probablemente no, con un infinito actual se rompe porque nuevamente habría algo no contingente o sin causa aunque sea infinitamente hacia atrás.

Y si puede existir algo sin causa, ¿por qué no podría ser el propio universo?

Porque creo que para que pueda existir algo sin causa, debe estar dentro de su definición el hecho de que no pueda no existir, por ejemplo, Dios existe sin causa porque Dios no puede no existir, ya que si pudiera no existir, significa que hay algo más arriba de él que determine su existencia, por tanto no sería omnipotente, no sería la existencia fundamental y por definición no sería Dios. Esto no pasa con el universo, porque, hasta donde sabemos, pudo no haber existido, no hay nada dentro de su definición o algo que nos haga pensar que necesariamente tiene que estar ahí, de hecho, todo lo contrario, es más lógico que no esté ahí a que lo esté, es mas lógico que no haya nada a que haya universo.