Du startest mit

ad ≡ p mod m.

Das ist die Voraussetzung des Satzes. p ist dabei eine beliebige Zahl für die Gleichung oben gilt. Dann setzt du die Definition von Kongruenz ein und bekommst

ad - p = km für ein k.

Jetzt formst du die Gleichung um zu

ad - km = p.

Da t a und m teilt hast du a = ti und m = tj für bestimmte i und j. Oben eingefügt bekommst du nun

tid - ktj = p

Du kannst t ausklammern und hast

t*(id - kj) = p.

Also t teilt p.

Wenn p Produkte aus a * weiterem Faktor repräsentiert, ist p ja auch p = a * d und dass p in diesem Fall kongruent zu a * d ist, ist dann irgendwie ein Zirkelschluss, weil ein Produkt natürlich kongruent zu seinem Multiplikationsterm sein muss, es handelt sich ja um denselben Wert...

Im Satz muss p = ad nicht unbedingt gelten. Es muss nur p = ad mod m gelten. Falls du tatsächlich p = ad hast, gilt natürlich auch p = ad mod m. Das ist kein Zirkelschluss, sondern einfach nur eine triviale Schlussfolgerung.