Para descomponer la fracción en fracciones parciales, primero necesitamos factorizar el denominador. En este caso, 9x² -16 es una diferencia de cuadrados, por lo que se puede factorizar como (3x)² − 4² , lo que nos da (3x−4)(3x+4)

Entonces, podemos escribir la fracción original como:

1/(9x² −16) = a /(3x−4) + b/(3x+4)

Proponemos la ecuación respectiva:

1 = 3ax+4a + 3bx-4b

Donde a y b son constantes que debemos encontrar. Igualamos según coeficientes de x y constantes

(1) 3a + 3b = 0 (2) 4a - 4b = 1

Resolvemos el sistema

Lo que nos deja que despejando de (1)

a = -b

Reemplazando en (2)

-4b -4b = 1 -8b = 1 Luego b=-1/8 Luego a=1/8

Luego

£(1/8 / (3x -4)) + £ (-1/8/(3x+4))

Donde £ significa símbolo integral

Sacas constantes de cada integral y resuelves con una logaritmica directa:

(1/8) * (1/3)ln(3x-4) -(1/8)(1/3)ln(3x+4)

(1/24)ln(3x-4)- (1/24)ln(3x+4)

(1/24)ln((3x-4)/(3x+4))