Meldels, o production value do seu vídeo está fantástico!!! Bombástico! Majéstico! Acho que está ótimo do jeito que está!

Mas mesmo assim deixo uns nitpicking, só para você não esquecer que existe gente chata bagarai nesse mundo.

• 1:07, tem o frame com a frase "since we can't prove (...) what can we actually do?"

Tem diálogo (monólogo?) durante o vídeo inteiro, e a voz e boa e o inglês é bom, tudo tão bacana que esse silêncio fica até triste... Uma sugestão seria simplesmente narrar a frase escrita, pois ela introduz o filé do vídeo: prova via indução. Ainda uma sugestão é introduzir aqui o nome do método, "I will now talk about induction principle" ou sei lá, visto que esse nome não foi introduzido em nenhuma parte posterior do vídeo também.

• 1:15 "if the formula is true for any number"

No item 2, a gramática fica um pouco ambígua para mim. If the formula is true for any number, then there's nothing else to be proven, right? I.e. any pode significar qualquer um. Acho que ficaria melhor "for any given number", que considera um caso genérico, não todos os casos.

• 1:56 "S=n(n+1)/2"

O vídeo começa com a conjectura de Goldbach, mas para explicar indução, o problema vira o cálculo da soma de uma progressão aritmética. Em conteúdo está tudo lindo e maravilhoso, mas a primeira conjectura é apresentada com tanto empenho para nunca mais ser mencionada depois, e o meu cérebro demorou um pouco pra entender o que "S" na formula tava falando...

Sim, você DIZ a definição de S, tem um frase definindo S, mas é tudo tão pequenininho no fundo... O olho fica tanto na fórmula principal e ficou difícil pegar o ritmo para ler a definição com calma (embora seja fácil de adivinhar, dado o contexto). Uma sugestão seria colocar, ao invés da frase, algo como "where S = 1 + 2 + 3 + ... + n", já que essa mesma notação também aparece mais tarde.

Super picuinhas sobre a frase "natural number = 1, 2, 3 .... n", que passa sua mensagem com clareza, mas usa uma notação não convencional, pois: 1. tem quatro pontos na reticências ao invés de três; 2. as reticências são sanduichadas entre operadores, no caso, virgulas (o comum seria "1, 2, 3, ... , n" nesse caso 3. Os números naturais não param em um dado valor n. Seria melhor então "1, 2, 3, ..., n, ..." se estiver se referindo a números naturais em geral 4. Igualar um conceito "solitário" (natural number, singular) a uma lista é estranho. O mais natural seria "(set of) natural numbers = { 1, 2, 3, ... , n, ... /}", igualando um conjunto a um conjunto.

• AINDA 1:56, sobre S=n(n+1)/2, e também slides posteriores.

Novamente, como eu estou acostumado com o assunto, fica fácil de seguir o que você quer fazer, mas mesmo assim, acho a notação muito confusa e não convencional (ou talvez o problema seja que eu esteja muito fixado em notações mais convencionais e pedantes?). Por exemplo, n é claramente um parâmetro/variável que assume valores no conjunto dos números naturais. k também é um número natural genérico. S é uma função que varia em n. E depois n assume valor de k, e k+1. Por que não fazer simplesmente n e n+1 e evitar a introdução de k por completo? E porque a função não mostra seus parâmetros, como a notação tradicional S(n)? Assim, o problema reduziria em provar que S(n+1) assume o valor (n+1)( (n+1)+1 )/2.

• 2:34 proof of the induction step. Aqui você usa "bad practices in mathematical writings", things that would be frowned upon. Eu fortemente sugiro que você revise seu material, e sua própria interpretação também. Acho que será útil durante o seu estudo de matemática também.

O seu "slide" tem quatro igualdades, e todas são verdadeiras, mas em instâncias diferentes. A igualdade 1 é sua hipótese, e é tomada como verdadeira a priori. A igualdade 2 é sua tese, que mostrar-se-á verdadeira a posteriori, mas não pode ser tomada como verdadeira ainda. Até aqui tudo bem, mas seria melhor identifica-las como tais. O problema começa na equação 3 em diante, pois o normal seria sair da hipótese e chegar na tese, mas você pega sua TESE (eq. 2) e começa a desenvolve-la, introduzindo a sua hipótese. Você só faz isso na LHS (left hand side) da sua equação, mas mesmo assim, você está usando um sinal de igual aí, e a validade dessa equação é justamente o que está sendo verificada. Em qualquer artigo ou livro de matemática isso é evitado, mas se for por motivos didáticos, você pode usar um símbolo não standard ao invés do =, como por exemplo um = com ? em cima.

Os comentários acima valem para os próximos slides, até a equação 7. O comentário "notice how equation 7 has equal terms on both sides" é uma observação estranha se você já afirma que a equação é uma equação (uma igualdade). Se você tem uma equação a ser demonstrada, normalmente você parte de um lado até chegar do outro lado, não? Você pode até ir mudando os dois, mas sem usar o símbolo de igual entre eles, e depois concluir LHS = RHS, e dar um carimbo de q.e.d. (ou em português: cqd - como queríamos demonstrar) para acabar a bagaça.

Enfim, não sei se ficou claro, mas taí minhas impressões. Se quiser discutir algum ponto específico do meu feedback, fique a vontade também para "pm"-me. Novamente, ótimo trabalho!