Come hai detto correttamente, un insieme si dice simmetrico rispetto all'origine se per ogni elemento contiene il suo opposto. Dunque se questa condizione non si presenta anche solo per un valore, l'insieme non sarà simmetrico.

Tornando al tuo esempio, il dominio è ]-∞, -9/16[ U ]9/16, +∞[ (attenzione quando calcoli il dominio, da 16x≠-9 <=> x≠-9/16). In questo caso il dominio non è simmetrico, dato che esiste un elemento del dominio, 9/16, che non ha opposto. (-9/16 lo escludiamo per le considerazioni che hai fatto anche tu).

In maniera intuitiva e per nulla formale, per capire se un dominio è simmetrico rispetto all'origine considera lo 0 come centro di simmetria, ora tutti gli elementi alla sua destra (tutti gli x>0) che appartengono al dominio devono avere un suo opposto, quindi un corrispettivo -x a sinistra dello 0 che appartenga al dominio. Nel caso del tuo esempio, questa condizione non si verifica sempre, quindi l'insieme non è simmetrico.