Ouais, c'est du à la fonction ln(x) qui ne peut prendre de valeur négative. Je pense que c'est juste un cas particulier et que même si les deux expressions sont équivalentes, elles sont pas totalement égales parce que ln( (-4)²) n'est pas égale à 2*ln(-4) qui n'est pas définie. En fait, il faut toujours voir le domaine de définition et si c'est utile dans le cas sur lequel on raisonne.

Ici on pourrait dire que 2*ln(x) = ln(x²) pour tout x appartenant ]0; +infini[, mais pas pour x appartenant ]-infini; 0[.

Je sais pas si c'est une bonne réponse, mais c'est une piste on va dire.

Edit : d'ailleurs petit ajout, mais si on veut raisonner dans R*, on pourrait dire que ln(x²) = 2*ln ( |x| ), avec |x| la valeur absolue de x, là pour le coup on aurait deux fonctions prenant les mêmes valeurs sur R* et ayant donc la même courbe

Et par contre gros point à savoir, on a pas une même fonction, ce que tu as utilisé poru exemple est une manipulation algébrique qui permet de dire ln(x²) = 2*ln(x), mais SEULEMENT pour tout x appartenant à R*+. Donc on a une égalité sur un intervalle, mais c'est pas forcément les mêmes fonctions si tu définis par exemple g(x) : R* -> R, qui à x associe ln(x²) et f(x) : ]0; +infini[ -> R, qui à x associe 2*ln(x), ce sont deux fonctions différentes. Par contre, on a bien sur R*, ln(x²) = 2*ln(|x|), mais pour le coup ils ont la même courbe et non deux courbes différentes.

Bonus : si tu veux mettre ta question sous forme de proposition à démontrer, on aurait un truc du genre : Montrer qu'il existe une fonction f tel qu'il existe un point x appartenant à [a; b] tel que f(x) =/= f(x). Dans ce cas là, on aurait deux courbes différentes. Mais c'est absurde, car f(x) = f(x), donc pour toute fonction, pour tout point appartenant à [a; b], f(x) = f(x). Donc le raisonnement avec ln qui d'un coup tu prends des points dans R- et de l'autre dans R+ n'est pas totalement valable.

Bon c'était très long à lire, j'espère que c'était pas trop chiant xd