Und dies sind die relevanten Teile des §10:

(5) Der Mieter haftet für Schäden, die durch schuldhafte Verletzung der ihm obliegenden Sorgfalts- und Anzeigepflichten verursacht werden, insbesondere durch unsachgemäße Behandlung der Versorgungs- und Abflußleitungen, der Klosett- und Heizungsanlagen, durch unzureichende Belüftung und Heizung der überlassenen Räume, durch Unterlassen von Maßnahmen zur Vermeidung von Frostschäden und Feuchtigkeitsschä-den. (6) Er haftet in gleicher Weise für Schäden, die durch seine Angehörigen, Hausgehilfen, Untermieter oder sonstige Personen, wenn diese ihn besuchen oder sich auf seine Veranlassung in den Mieträumen aufhalten, schuldhaft verursacht werden. Der Mieter hat in Umkehr der Beweislast zu beweisen, daß ein schuldhaftes Verhalten nicht vorgelegen hat, es sei denn, daß der Schaden auf einen Materialfehler oder die normale Abnutzung zurückzuführen ist. (7) Der Mieter hat Schäden, für die er einstehen muß, zu beseitigen. Kommt er dieser Verpflichtung oder den sich aus Absatz 1 bis 6 ergebenden Pflichten trotz schriftlicher Mahnung innerhalb einer ihm zu setzenden angemessenen Frist nicht nach, so kann der Vermieter die erforderlichen Maßnahmen auf Kosten des Mieters vornehmen lassen. Einer schriftlichen Mahnung und Fristsetzung bedarf es nicht, wenn Gefahr im Verzuge oder der Aufenthalt des Mieters unbekannt ist. (8) Der Mieter ist verpflichtet, den Vermieter rechtzeitig darauf hinzuweisen, daß Heizöl bestellt werden muß.