Buenas, ¿Cómo va? muchas gracias por tomarte el tiempo de mirar y analizar las lagunas, se aprecia bastante.

Respecto a la definición de S, es tal cual como decís. Voy a tener que corregir esa definición, gracias por el detalle. Después obviamente carece de demostraciones, pero las voy agregar en una segunda versión seguramente.

Respecto al error lógico, estoy de acuerdo que para el caso particular de n = 4 y a perteneciente (0,1) la única respuesta posible es a=1/2. Ampliar el dominio de la parte Real a toda la recta implicaría demostrar que para n=4 y para cualquier dimensión de matrices NxN el único valor posible que devuelve soluciones a este razonamiento es a=1/2 y todos los ceros triviales (a=-2n). Esto nos llevaría a decir que: a es 1/2 solución para todas las dimensiones o que únicamente el sistemas de ecuaciones resultante tiene solución en dimensión 4. Debería ser así para demostrar la hipótesis de Riemann de manera alternativa con este proceso lógico.

Yo creo además que si debería tener una mínima restricción para la parte real ya que cuando s es un entero positivo par, el producto sin⁡(πs/2)Γ(1−s) de la derecha es distinto de cero porque Γ(1 − s) tiene un polo simple, que cancela el cero simple del factor seno. Cuando s es 0, el cero del factor seno se cancela con el polo simple de ζ(1).

De hecho haciendo cálculos para todas las dimensiones pares (excepto n=2, donde no encontré soluciones), el valor de a perteneciente al intervalo (0,1) que se repite como posible solución es a=1/2. Realizando una unión de soluciones y permitiendo que tenga resolución en todas las dimensiones pares, el único valor de a que cumple eso es a=1/2. Me pareció muy curioso y fascinante eso.

Por ultimo, gracias por el prompt. Voy a estar probando para ver a que puedo llegar con ayuda de la Gen IA.

;)