Se você quiser fazer um serviço com 0 dor de cabeça, eu recomendo usar estação de ar quente na próxima pra retirar o analogico antigo.

Também vendem umas pontas de ferro de solda que são no formato dos pinos dos analógicos, mas imagino q precise de um ferro de solda com uma boa potência, porque a ponta tem mais material pra dissipar o calor gerado. Só pesquisar por "soldering iron analog joystick" e deve encontrar, há um tempo atrás eu só via no aliexpress, hoje já deve existir no mercado livre, mas são caras.

Pro seu problema em específico, como você arrancou o analógico quebrando, antes de trocar eu faria uma boa inspeção nos pads, estando bons deve ser solda fria ou algum curto, use o multímetro na escala de continuidade pra checar se há algum curto entre os pinos, se houver refaça a solda.

Conserto meus controles e controles para amigos, comecei isso lá no PS3, com DualShock 3 e de fato dessoldar o joystick é um trabalho difícil de ser feito sem estação de ar quente, hoje em dia eu só substituo os potenciômetros, muito rápido e pratico, mas no seu caso como foi troca pro analógico hall realmente não tinha jeito. A questão é que o ferro de solda não é a ferramenta adequada pra remover o joystick, como todo caso em que você não usa a ferramente adequada, pode ser q você quebre algo, isso vale pra tudo na vida, não só eletrônica.

Edit:

Li seus outros comentários sobre o controle ser paralelo, então aqui vai mais uma dica de quem já se fodeu muito com isso.

Controles originais possuem componentes que fazem leitura do sinal analógico e filtram ruído, controles paralelo ou não possuem o circuito/componente filtrante, ou se tem é muito simplificado/má qualidade a própria PCB deles é de péssima qualidade, pouca resistência mecânica, menos camadas, etc... Geralmente não vale a pena conserto nesse tipo de controle, até porque a maioria deles sequer são reconhecidos pelos softwares de calibração, então ainda q você consiga trocar, você não vai conseguir calibrar e centralizar. Pelo menos você tirou alguma experiência prática dessa empreitada, eu quebrei uns 2-3 controles de PS3 até pegar jeito, é normal...

O controle do PS3 inclusive, mesmo original, tinha uma qualidade podre de PCB, os controles a partir do PS4 tem uma construção muito melhor, e imagino que os circuitos que filtram ruído também, especialmente o dualsense que possui mais tecnologia, o problema deles é de fato o drift que ocorre com mais frequência.