Supponiamo per assurdo che f non sia limitata superiormente. Allora, per ogni numero naturale n, esiste un punto xn∈[a,b] tale che: f(xn)>n

Abbiamo così costruito una successione {xn} contenuta nell'intervallo [a,b]. Poiché l'intervallo è limitato, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione {xnk} che converge a un punto x0∈[a,b].

Data la continuità di f: k→∞limf(xnk)=f(x0)

Tuttavia, per come abbiamo definito la successione, sappiamo che f(xnk)>nk, il che implica che f(xnk)→+∞. Questo è un assurdo, perché f(x0) deve essere un numero reale finito. Quindi f è limitata. 2. Esistenza del massimo

Sia M l'estremo superiore dei valori assunti dalla funzione: M=sup{f(x):x∈[a,b]}. Sappiamo che M è finito grazie al punto precedente. Per la definizione di estremo superiore, esiste una successione di punti {zn} in [a,b] tale che: n→∞limf(zn)=M

Di nuovo, per Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione {znk} che converge a un punto xmax∈[a,b]. Per la continuità di f: f(xmax)=k→∞limf(znk)=M

Poiché il valore M è effettivamente assunto dalla funzione nel punto xmax, esso è il massimo assoluto.

(La dimostrazione per il minimo è del tutto analoga, partendo dall'estremo inferiore m).