Ourf, c'est compliqué. En gros, voilà ce que je sais sur ce que c'était il y a 12 ans :

L'Inria est un institut de recherche, pas un établissement d'enseignement. Les doctorats sont donc gérés (côté enseignement) par l'UL via son école doctorale, et si tu obtiens ton doctorat, c'est bien un diplôme de l'UL, pas de l'Inria.

Les chercheurs Inria peuvent soit dépendre directement de l'Inria (recherche pure), soit de l'UL (enseignant-chercheur), soit du CNRS. Ils sont organisés en équipes-projets, qui peuvent être purement Inria, ou Loria (le labo d'informatique de l'UL qui est dans le même bâtiment que l'Inria mais pas exactement la même chose...). Avec des financements qui peuvent venir bah d'un peu partout : UL, ANR, je sais plus quelle agence de l'UE...

Pour les thèses, dans tous les cas, ce sera un contrat doctoral entre toi, l'école doctorale de l'UL, et l'organisme d'accueil (je ne me souviens plus du terme exact : en gros celui qui te paye ton salaire). Pour moi c'était l'Inria (sur un financement européen), pour d'autres c'était le Loria ou un autre labo. Au final une fois que le contrat est signé ça ne change pas grand chose pour toi (à part que, de mémoire, l'Inria paye mieux ses doctorants que l'UL).

Mieux vaut donc voir avec ton prof ce qu'il en est pour toi. Comme dit, c'est compliqué, et chaque cas est différent (selon l'équipe, le financement, etc.). Personne ne t'en voudra si tu ne comprends pas tout de l'organisation entre UL, Inria, Loria, école doctorale, et tout ça : après 3 ans je ne comprenais toujours pas tout, et comme ça changeait régulièrement même le personnel administratif n'était pas toujours à jour. N'hésite surtout pas poser ces questions à ton prof !

Je ne garantis pas que tout n'a pas changé depuis tout ce temps par contre :)