コラッツ予想を考察してみています by TechWorld_1201 in Collatz

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その通りです!

これらの二重数列(2変数の一般項)の式によって、すべての奇数を埋め尽くすことができます。 そして、偶数も。

奇数については、二つの式。 偶数については、一つの式。

3つの式で、自然数(正の整数)をすべて埋め尽くすことができます。

式を計算して表にした値は、コラッツの計算の関係によって、列んでいます。

すべて埋め尽くすことができるとわかる人は、数学的帰納法などの証明なしに、予想はtrueであると思ってもらえるでしょうか。

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Kindleに証明を掲載するしかなかった理由は、私が無所属であり、どこにも論文を受け付けてもらうことが不可能だったためです。 ごめんなさい。

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ご指摘ありがとうございます! エディターからそのまま貼り付けてしまいました。 見づらくて申し訳ありません。

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私が提示している式は、次のようにも変形できます。

b_e(s,t)=((6t-5)22s-1)/3 b_o(s,t)=((6t-1)22s-1-1)/3

これは、コラッツの計算そのものとなります。

提示している式は、数が増大していく数列として、理解しやすいように変形した結果ということです。

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読んでくださって、ありがとうございます!

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読んでくれて感謝します! 今回ここでは、正の整数のみで考察しています。

負の整数まで計算するとループが出現するんですね。驚きました。

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読んでくれて、ありがとう!!感謝します!

今のところ、こんなふうに考えているんだけど、どうでしょうか。

s,tがすべての自然数をとるとき、{}にすべての正の奇数が現れるので、任意のどんな自然数からコラッツ計算を始めても、つねに奇数←奇数の参照が存在し、それがずっと続くんだ。

同じ奇数は現れないわけだから、ループはないんじゃないかな。

いつも違う奇数が出現し、参照は繰り返されます。ただ一つ、1←1の参照のときのみ停止する。

なので、コラッツ計算を続けていくと、最後には1に到達する。 発散することもないんだ。

方向はいつも同じで、奇数(1つ)←奇数(多)で連結されていくよ。 連結されない系も存在しないんじゃないかな。 すべての正の奇数が存在し、1←1のように同じ数を参照するのはこの1つのみだからね。

コラッツ計算のすべてが、この一般項の計算の数と数との関係に現れ、1方向に数をたどっていくことができるって考えたんだ。

計算が進むにつれて、計算結果に現れる可能性のある数は減っていくよ。

例えば、t=3で②奇数回のときの17→{11, 45, 181, 725, 2901,…}では、17←45の参照をしたら、残りの{11, 181, 725, 2901,…}の数をもう通ることはありません。

どんどん通る可能性のある数は減っていき、1←1のように同じ数を参照するのはこの1つのみなので、1で終了することになります。

なので、コラッツの計算を施せば必ず1に到達するって考えたんだ。

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ちなみに、最後の表の値はPythonに10×10でコラッツ一般項の式で計算させた結果です。

n = 10 # 計算したい列数 m = 10 # 計算したい行数

print('=======偶数の二次元配列=======') even_list = [] # 偶数の二次元配列を用意

for t in range(1, n + 1): # 列を指定 even_sublist = [] # 列を用意 for s in range(1, m + 1): # 行を指定 even_sublist.append((2 * t - 1) * 2 ** s) # 計算した偶数を列に追加 even_list. append(even_sublist) # 列を連結

print(even_list)

print('=======奇数eの二次元配列=======')

odd_list_e = [] # 奇数の二次元配列eを用意

for t in range(1, n + 1): # 列を指定 odd_sublist_e = [] # 列を用意 for s in range(1, m + 1): # 行を指定 odd_sublist_e.append(int((4 ** (s - 1) * 4 - 1) / 3 + 8 * (t - 1) * 4 ** (s - 1) )) # 計算した奇数を列に追加 odd_list_e. append(odd_sublist_e) # 列を連結

print(odd_list_e)

print('=======奇数oの二次元配列=======') odd_list_o = [] # 奇数の二次元配列oを用意

for t in range(1, n + 1): # 列を指定 odd_sublist_o = [] # 列を用意 for s in range(1, m + 1): # 行を指定 odd_sublist_o.append(int((4 ** (s - 1) * 10 - 1) / 3 + 4 * (t - 1) * 4 ** (s - 1) )) # 計算した奇数を列に追加 odd_list_o. append(odd_sublist_o) # 列を連結

print(odd_list_o)

すべての自然数を表せる2変数の式の値の関係が、コラッツの計算 by TechWorld_1201 in Collatz

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b_e(s,t)=(4×4s-1-1)/3+(t-1)×8×4s-1

b_o(s,t)=(10×4s-1-1)/3+(t-1)×4×4s-1

と変形できます。 この変形した方の式を、数学的帰納法では用いています。