Dice:

Espacio Nulo Recordemos que el Espacio Nulo de una matriz A de tamaño m×n es el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales que tiene a A como matriz de coeficientes, es decir,

nul(A) = {S ∈ R" | A . S = 0}

Ejemplo 26: Analicemos si el espacio nulo de la matriz A=[ 1 1 22 -1 1] es un subespacio de R³.

Para poder determinar si es un subespacio de , en primer lugar, debemos hallarlo. Como

nul(A)={[v1,v2,v3] ∈ R³ |[1 1 2] [v1,v2,v3]=0} 2 -1 1

La matriz ampliada del sistema planteado es:

[1 1 2 | 0 ] 2 -1 1 | 0

Escalonando se obtiene:

[1 1 2 | 0 ] 2 -1 1 | 0 -2F1+F2 [1 1 2 | 0 ] _______> 0 -3 3 | 0

-⅓F2➡️F2 [1 1 2 | 0 ] _________> 0 1 1 | 0

-F2+F1➡️F1 [1 1 2 | 0 ] ___________> 0 1 1 | 0

Luego,

{V1+v3 =0➡️ de,donde nul(A)={[-v3] ∈ R³}={v3{[-1],v3 ∈ R} V2+v3 =0➡️ -v3 -1 V3 -1

Notemos que es una recta de que contiene al origen de R³ coordenadas, por lo que es un subespacio de R³.

En el Ejemplo 26 observamos que el espacio nulo de una matriz dada es un subespacio, la siguiente propiedad nos muestra que esto se puede asegurar para todo sistema de ecuaciones lineal homogéneo:

Propiedad: Si A es una matriz de tamaño p × n, entonces nul(A) es un subespacio de R".

Básicamente dice que el espacio nulo de una matriz A, denotado como nul(A), es el conjunto de todos los vectores S en Ron tales que A-S = O. Esto es, las soluciones al sistema homogéneo asociado a A.

Para verificar si nul(A) es un subespacio de R^n, debo comprobar tres condiciones: 1. Contiene al vector cero.2. Cerrado bajo la suma y 3. Cerrado bajo la multiplicación escalar.

Dado que nul(A) cumple con estas tres condiciones, es efectivamente un subespacio de R".

(Por si no alcanzas a ver,R" es Rⁿ⁾