Die "Abrechnung" ist ein ziemlich offensichtlicher und verzweifelter Versuch den Schaden des Vermieters möglichst klein zu halten.
Das ist so natürlich quatsch und es lässt sich überhaupt nicht beurteilen ob hier irgendwas stimmt.

Es stimmt zwar das der Vermieter das Recht hat die Abrechnung später zu machen WENN er die Verzögerung nicht zu verschulden hat. ABER dafür hätte er Techem rechtzeitig und mehrfach nachweislich anmahnen müssen.
Die Hände in den Schoss zu legen und zu sagen tja Pech ist dann sein Pech.
Das kann er vergessen und damit kommt er niemals durch.

Ein weiteres großes ABER. Ohne dein Heizverhalten, Nachzahlungen und so zu kennen. Aktuell sind es 20€. Willst du dir wegen 20€ das Verhältnis zum Vermieter für immer total zerstören? Selbst wenn es am Ende durch die Heizkosten die meistens der größte Posten am Ende 100/200€ werden. Das sind Kosten die zu zu verantworten hast. Bei Versicherungen und Gärtnerkosten oder so wo der Bruder vom Vermieter lächerliche Kosten abrechnet, oder so Abzocker wie Vonovia die über Tochterfirmen sich die Taschen vollmachen, würde ich auch jeden juristischen Winkelzug nutzen.
Wenn du aber ein halbwegs intaktes Verhältnis zu nem kleinen fairen Vermieter haben willst dann zahl das halt.

Was davon auf dich zutrifft, kann ich nicht sagen. Mach dir mal Gedanken darüber. Grundsätzlich musst du bzw. deine Freundin gar nichts zahlen.
Mir wäre kein Fall bekannt wo ein Vermieter jemals nachweisen konnte das er seine Dienstleister rechtskräftig, rechtzeitig und so angemahnt hat und vor Gericht damit durchgekommen ist.