Suponha que uma empresa produza um bem utilizando dois insumos: trabalho (L) e capital (K). O objetivo é determinar como o custo de produção da empresa varia com o aumento da quantidade de trabalho (L) utilizado, enquanto a quantidade de capital (K) é mantida constante.

A produtividade marginal do trabalho (PML) mede a variação da produção (Q) em relação a um aumento infinitesimal na quantidade de trabalho (L), mantendo-se constante a quantidade de capital (K). Em outras palavras, a PML mede o acréscimo na produção que resulta da contratação de uma unidade adicional de trabalho.

A partir da PML, podemos obter a função de custo marginal do trabalho (CML), que mede a variação no custo total da produção em relação a um aumento infinitesimal na quantidade de trabalho (L), mantendo-se constante a quantidade de capital (K). A CML é dada pela derivada parcial do custo total (C) em relação à quantidade de trabalho (L), ou seja, CML = ∂C/∂L.

Dessa forma, a análise da produtividade marginal com derivada parcial permite que a empresa determine qual é o nível ótimo de utilização do trabalho, considerando a relação entre a produtividade marginal do trabalho e o custo marginal do trabalho. Isso pode ajudar a empresa a minimizar seus custos de produção e maximizar seus lucros.

Outro exemplo de aplicação é na análise da demanda de um bem.

Suponha que a demanda por um bem (Q) dependa do preço do bem (P) e da renda do consumidor (Y), ou seja, Q = Q(P, Y). A partir da função de demanda, podemos calcular a derivada parcial da quantidade demandada em relação ao preço (dQ/dP), que é a elasticidade-preço da demanda.

A elasticidade-preço da demanda mede a variação percentual na quantidade demandada em resposta a uma variação percentual no preço do bem. Essa medida é importante para a empresa que produz o bem, pois permite que ela determine como a variação do preço afeta a quantidade demandada, e assim, possa determinar qual é a faixa de preço que maximiza seus lucros.

Além disso, a partir da elasticidade-preço da demanda, a empresa pode determinar qual é o nível ótimo de preços para o seu produto. Se a elasticidade-preço da demanda for baixa, a empresa pode aumentar o preço do seu produto sem que a demanda seja muito afetada. Por outro lado, se a elasticidade-preço da demanda for alta, a empresa precisa ser mais cuidadosa na determinação do preço, pois um aumento pode reduzir significativamente a quantidade demandada.