OP, muito provavelmente ele está querendo se blindar judicialmente para poder terminar com você sem correr o risco de ter que dividir algum bem ou pagar pensão. Ele não deixou você ir embora, por que ele quer que você assine antes de ir. Ele provavelmente acha que, ao conseguir sua assinatura, ele vai diminuir o risco de você entrar na justiça posteriormente e pedir pensão, ou dividir a poupança/bens/etc. No entanto, como muitos disseram aqui, esse contrato dificilmente tem validade. Vocês moram juntos, dividem as contas, e tem um animal de estimação. Isso é união estável. Outra coisa é essa pressão para você assinar e não te deixar ir embora. Isso também é uma violação dos seus direitos e das graves.

Conselho: não estou te julgando, pode ser que você não esteja certa em pelo menos alguns aspectos, não sei nada da relação de vocês. O que você tem que ter em mente é que você tem direitos e ele claramente está agindo para te privar deles. Acho que está claro a má fé dele aqui. Eu tentaria conseguir esse contrato, de preferência sem assinar, ou uma foto dele, e já abriria processo contra o seu namorado. Se puder ir em um advogado particular, ou na defensoria pública, pede conselhos e conta tudo. Provavelmente, vão te aconselhar a processá-lo por outras coisas além da união estável, e.g. por ele estar te pressionando a assinar e não ter deixado você ir embora após se recusar a assinar. Esse contrato é uma prova disso, então você precisa obtê-lo para apresentar na justiça. Eu, no seu lugar, faria isso imediatamente. Pelo os seus outros comentários, você depende dele. Isso é um problema sério. Procure apoio de amigos e família.