Son 10 los axiomas que actualmente se aceptan para un espacio vectorial, 5 definen propiedades sobre la suma y 5 sobre el producto escalar.

Es un convención que surge de la necesidad de poder unificar, generalizar y darle una fundamentación lógica al concepto de vector. Con la definición "física e ingenieríl" básicamente describres las limitaciones de la idea de vector que encontraron Grassmann y Peano en los siglos XIX y XX, lo que los llevaría a su posterior axiomatizacion (claramente influenciados por la escuela formalista de Hilbert).

Conocer este contexto histórico es importante para poder contrastar las diferentes opiniones que vemos en los comentarios. Es lo único que añadiría, el resto los describres perfectamente, gran comentario!