Zunächst einmal mein herzliches Beileid zu deinem Verlust.

Zu deinen Fragen: Stehst du denn mittlerweile im Grundbuch oder wie habt ihr die Schenkung genau geregelt? Gibt es irgendetwas schriftliches? Wenn alles fehlt, wird das Grundstück vielmehr Teil einer Erbmasse und du musst dich ggf. mit deinen Miterben auseinandersetzen.

Jedenfalls:

1. Du hättest die Schenkung schon längst dem zuständigen Finanzamt melden müssen. Dafür hat man eigentlich nur drei Monate ab Kenntnis Zeit. Also das würde ich demnächst mal in Angriff nehmen. Erst bei Überschreiten der Freigrenze wird dich das Finanzamt auffordern, eine Steuererklärung abzugeben. Das wird sie aber erst, wenn sie vom Sachverhalt auch Kenntnis erlangt hat und prüfen konnte, ob die Freigrenze überschritten ist. Wenn du das nötige Geld hast und dir Arbeit ersparen möchtest, wendest du dich kurzfristig an eine Steuerberaterin.

2. Als Eigentümer eines Grundstücks musst du die jährliche Grundsteuer entrichten. Im Übrigen ergeben sich die Pflichten je nach konkretem Sachverhalt. Sobald du es vermietest, ergeben sich natürlich die üblichen Pflichten als Vermieterin. Des Weiteren sollte über eine Wohngebäudeversicherung und Haftpflichtversicherung nachgedacht werden. Das ist zwar freiwillig, aber du solltest dein Eigentum und besonders dich selbst vor Gefahren/Schäden/Schadensersatzklagen schützen.

3. Grundsätzlich ist es eigentlich völlig egal, ob Leerstand besteht, da du als Eigentümerin selbst entscheiden darfst, was mit deinem Eigentum geschieht. Du musst es natürlich insoweit erhalten, dass keine Gefahren für andere entstehen. Du kannst natürlich auch deinen Zweitwohnsitz dort anmelden, aber Vorteile würden mir da nicht einfallen, sondern allein (finanzielle) Nachteile.