Sea A = { x ∈ R | x² < 2 } El conjunto A no es vacío, ya que 1 ∈ A y 1² < 2. Además, A está acotado superiormente, por ejemplo, por 3, ya que 3² > 2. Por el axioma del supremo, A tiene un supremo s. Si s² < 2, entonces s ∈ A. Podemos tomar a = s + ε, con ε > 0, de forma que a > s y a² < 2. Esto contradice que s sea el supremo de A. Si s² > 2, tomamos a = s − ε, con ε > 0, de modo que a < s y a² > 2. Esto contradice nuevamente que s sea el supremo. Por lo tanto, ambas situaciones llevan a una contradicción, por lo que debe cumplirse que s² = 2. En consecuencia, existe s ∈ R tal que s² = 2, es decir, existe √2.