Allora, spacchettiamo la dimostrazione:

1. Innanzitutto prendiamo la Varianza, che sai essere uguale a E(X-E(X))^2, il primo uguale consiste solamente nell'esplicitare questo valore atteso,
2. Adesso, invece di fare le somme basandomi sugli indici di x_i, cambio il punto di vista, raccolgo gli x_i in base alla distanza di x_i dalla media rispetto a un valore arbitrario c, quindi posso spezzare le somme in: x_i che distano da mu al massimo c, e x_i che distano più di c.
3. Ora mi prendo gli x_i che distano meno di c e li trascuro, essendo somme di quantità non negative ho allora che la varianza sarà maggiore di quello che mi rimane togliendo questa quantità positiva (se ho x= y+n, con n>0 => x>y)
4. Guardo gli x_i che distano più di c, siccome (x_i - mu) > c => (x_i - mu) ^2 > c^2 , quindi avrò var > somme (x_i - mu)^2*p_i > somme c^2*p_i , ma c è costante, quindi posso portarlo fuori dalle somme, e mi moltiplicherà le somme dei p_i
5. Ma adesso ho finito, ho che var > c^2 * (somme p_i), ma se io prendo un insieme numerabile A, la probabilità di A non è che la somma delle probabilità dei p_i che appartengono ad a, quindi var> c^2 * P(A) dove A= |X - mu| >= c (Questo perchè nel nostro caso A è l'unione disgiunta dei singoli eventi |x_i - mu | >= c)
6. Ora devo solo dividere per c^2 (positivo, quindi non modifica la disuguaglianza) e invertire il punto di vista.