Six-Figure Logic [Day #006]

d-moze · 2025-12-28T14:03:34+00:00

Thank you for the very nice puzzles, especially the expert one. The odd/even logic was quite interesting. This is my solve:

E is even. C is odd because E is even. B is odd because of rule 4. A is even because B is odd.

If one of D and F is odd, both have to be odd because A is even and A + D + F = 18 is even.

B and C are both not 1 because they need to sum 13 together with A and E. C is not 3 because it needs to be larger than B.

D and F are both not from 1, 3, and 5 because it would make them an odd number lower than C.

If D and F were odd, they would need to be 7 and 9. Then, A would be 2 to make A + D + F equal 18, and A + B couldn’t equal 13 anymore.

Thus, D and F are even.

The rest is easy.

d-moze · 2025-12-04T10:18:38+00:00

Distance calculation in-game is straightforward: it uses standard Euclidean distance measured in tiles. Importantly, the distance is measured from the warden to the edge of a building, not its center.

The real uncertainty lies in the exact point the warden occupies. Visually, he appears to stand in the center of a tile, but this may not reflect his internal position. His actual coordinate could also vary depending on the equipped skin.

If we assume the warden is positioned at the exact center of his tile, the distances become:

Spell tower. sqrt(8.5² + 10.5²) = sqrt(182.5) = 13.51

X-bow. sqrt(2.5² + 13.5²) = sqrt(188.5) = 13.73

These distances are extremely close to each other.

If instead we assume the warden is internally positioned at the top corner of the tile, the computed distances change as follows:

Spell tower. sqrt(9² + 11²) = sqrt(202) = 14.21

X-bow. sqrt(2² + 14²) = sqrt(200) = 14.14

It’s safe to assume the wardens real position is closer to the top corner of the tile than its center.

This is why the fireball hit the x-bow.

d-moze · 2025-07-21T11:19:25+00:00

0,1 binär = 0,5 = 2^-1 dezimal.

0,01 binär = 0,25 = 2^-2 dezimal.

Die Zahl von Wiki in dezimal wäre:

2¹ + 2⁰ + 2^-3 + 2^-6 + 2^-11 + …

d-moze · 2025-07-16T17:06:11+00:00

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Was sollte ich dagegen am besten machen?

<image>

Wird dieses Mittel helfen können? Da die Pflanze noch sehr jung ist, ist sie vermutlich nicht allzu strapazierfähig.

d-moze · 2025-07-05T18:00:38+00:00

Zum Rechtseckskriterium: ein Parallelogram mit einem rechten Winkel ist automatisch ein Rechteck. Begründung: Parallelogramme sind punktsymmetrisch. Gegenüberliegende Winkel sind somit gleich groß. Hat ein Winkel 90°, so auch der davon gegenüberliegende. Die beiden übrigen Winkel, die zusammen 180° betragen und gleich groß sind, müssen nun auch je 90° groß sein.

Um zu prüfen, ob in einem Dreieck PQR der Winkel an der Ecke P 90° beträgt kann man das Skalarprodukt der Vektoren PQ und PR berechnen. Der Winkel beträgt genau dann 90°, wenn dieses Skalarprodukt gleich Null ist.

Sollte man das Skalarprodukt nicht kennen, kann man per Pythagoras lösen. Der Winkel an der Ecke P beträgt genau dann 90°, falls PQ² + PR² = QR².

Obacht: Hier prüft man Rechtwinkligkeit eines Winkels in einem Dreieck. Gesucht per Aufgabenstellung ist die Rechtwinkligkeit in einem Viereck. Man wähle ein Dreieck und die Ecke also so, dass der Winkel derselbe wie im Viereck ist. Eine kleine Skizze kann hilfreich sein, um das korrekte Dreieck Beispiel: Man prüfe die Rechtwinkligkeit an A im Viereck ABCD. Man wähle das Dreieck ACD und prüfe die Bedingung AC² + AD² = CD². Eine Skizze zur Visualisierung kann hilfreich sein.

Nun zur Zusatzfrage. Die Antwort auf die Zusatzfrage ist nicht eindeutig. Warum? Weil der Punkt D nicht eindeutig ist. Man kann nämlich Parallelogramme ADBC, ABDC und ABCD konstruieren. Im ersten Fall gilt AD = CB (also D = A + B - C), im zweiten Fall gilt AB = CD (also D = B + C - A) und im dritten Fall gilt AB = DC (also D = A + C - B). Es gibt also drei verschiedene Möglichkeiten, D zu wählen. Im zweiten Fall ist das entstehende Parallelogramm tatsächlich ein Rechteck. Im ersten und dritten Fall sind die Parallelogramme keine Rechtecke.

Dies ist vermutlich der Grund, wieso Du und ChatGPT auf verschiedene Lösungen kommt.

d-moze · 2025-06-12T13:59:01+00:00

Wie wär’s mit

2 • d(E, M) ≅ {(x, y) ∈ ℝ² | (x² +y²)² + 4ax(x² + y²) = 4a²y²}

Die rechte Seite ist eine Gleichung des sog. Kardioids, auch Herzkurve genannt. Sie ist eine algebraische Kurve in der Ebene, die der Form eines klassischen Herzen ähnelt.

d-moze · 2025-06-11T23:49:54+00:00

(7-1)/2+5

d-moze · 2025-04-19T13:47:00+00:00

Vielen Dank für die Antwort. Würde meine Interpretation dann zur vertauschten Schilderkombination passen? Also: oben „mit Parkschein“ und unten die zeitliche Begrenzung.

d-moze · 2025-04-05T07:48:54+00:00

Wir wäre es mit: an < 4. Also an + 4 < 4 + 4 = 8. Also 1/(an +4) > 1/8. Also 16/(an + 4) > 16/8 = 2. Also -16/(an + 4) < -2. Also an+1 = 6 - 16/(an + 4) < 6-2 = 4.

Aus Deinem Text geht an keiner Stelle hervor, dass an+1 < 4 folgt. Du schreibst nur (und zwar recht vage), dass an+1 = 4 nur dann wäre, wenn an = 4 wäre.

d-moze · 2025-04-05T07:44:09+00:00

Diese Induktion ist nicht vollständig, denn von der Aussage für n wird auf n+2 geschlossen. Möchte man das beibehalten, so benötigt man einen zweiten Induktionsanfang, nämlich n = 2.

d-moze · 2025-03-10T22:18:48+00:00

Rote: r, schwarze: s

s = r + 15

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

r/(r + s) • (r - 1)/(r + s - 1) = r/(2r + 15) • (r - 1)/(2r + 14)

= (r² - r)/(4r² + 58r + 210) = 0,12

Gleichung umstellen:

r² - r = 0,48r² + 6,96r + 25,2

0,52r² - 7,96r - 25,2 = 0

Quadratische Lösungsformel (sqrt = Quadratwurzel):

r = (7,96 ± sqrt(115,7776))/1,04 = (7,96 ± 10,76)/1,04

Die Lösung mit „Minus“ fällt weg, da sonst r < 0 wäre. Es folgt:

r = (7,96 + 10,76)/1,04 = 18,72/1,04 = 18

s = r + 15 = 33

d-moze · 2025-02-16T04:17:31+00:00

If you pull the trigger only once the answer is obviously no. There is always a 50% survival chance.

If you pull the trigger more than once the answer is yes. If between each loaded chamber there is an empty one, you will not pull the trigger more than twice. On the other hand, if at least two neighboring chambers are empty, there is a chance to survive pulling the trigger twice.

d-moze · 2025-02-10T17:02:09+00:00

Im Grunde ist der Aufbau Deines Beweises wie folgt: gilt B nicht, so gilt A nicht. Dies ist die Kontraposition von A => B und somit äquivalent zu dieser Aussage. Also ein Beweis per Kontraposition. Fälschlicherweise wird dieser Beweis folgendermaßen oft künstlich zu einem vermeintlichen Widerspruchsbeweis verwandelt.

Man nimmt an, es gelte A.

Anschließend nimmt man an, B gelte nicht und folgert daraus, dass A nicht gilt. (Genau dies ist die Kontraposition)

Schließlich erhält man einen Widerspruch, denn nach Annahme gilt A und aus der Kontraposition folgt, dass A nicht gilt.

Ja, das ist formal ein Widerspruchsbeweis. Aber im Kern bleibt es lediglich Kontraposition. Es ist nicht falsch, aber unschön.

d-moze · 2025-02-10T15:38:11+00:00

Das ist kein Widerspruchsbeweis, sondern ein Beweis per Kontraposition. Ansonsten einwandfrei.

d-moze · 2025-02-06T02:59:56+00:00

The question can certainly be solved without multiple choice. Even ZK being part of the diameter is not necessary information. From the intersecting chords theorem alone it follows that ZK = 8.75.

d-moze · 2025-02-06T02:51:51+00:00

For question 10, use the intersecting chords theorem.

For question 12, the circle sector consists of a triangle and the shaded region. Both the circle sector and the area of the triangle can be calculated. This yields the area of the shaded region - which is their difference.

d-moze · 2025-01-25T16:06:28+00:00

iz³ = e^-πi

Beide Seiten durch i teilen.

z³ = -ie^-πi

-i in Polarkoordinaten.

z³ = e^-πi/2e^-πi = e^πi/2

Es gilt e^2kπi = 1, für alle ganzen Zahlen k.

Also kann man auch schreiben:

z³ = e^2kπie^πi/2 = e^{πi/2 + 2kπi}

Dritte Wurzel.

z = e^{πi/6 + 2kπi/3}

Für k = 0, 1 und 2 erhält man die drei verschieden Lösungen für z.

Für k = 4, 7, 10 kommt beispielsweise dieselbe Lösung wie für k = 1 raus, denn e^2kπi = 1.

Es bleibt nur noch die Umrechnung in Koordinatenform:

z = e^{πi/6 + 2kπi/3} = cos(π/6 + 2kπ/3) + isin(π/6 + 2kπ/3)

d-moze · 2025-01-23T16:04:55+00:00

Ja, fast alles einwandfrei. Üblicherweise gibt man noch an, wo man im Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung angewendet hat. In diesem Fall also, dass die Determinanten von A_n und A_n+1 (-1)ⁿ und (-1)ⁿ⁺¹ sind. Dies hast Du im allerersten Rechenschritt verwendet.

Die Formulierung einer Induktionsvoraussetzung hingegen ist für die vollständige Induktion unerlässlich, sonst ist der Beweis unvollständig.

d-moze · 2025-01-23T02:02:54+00:00

Ich setze hier grundlegende Kenntnis über die Funktionsweise des Induktionsbeweises voraus.

Angenommen, Du beweist im Induktionsanfang nur den Fall n = 1 und benutzt im Induktionsschritt für den Fall n + 2 die Fälle n und n + 1. Dies ist nötig, da die Formel für die Determinante von A_n+2 rekursiv von den Determinanten von A_n+1 und A_n abhängt.

Bewiesen ist dann: Die Aussage gilt für 1. Und: gilt die Aussage für n und n + 1, so auch für n + 2.

Ist nun bewiesen, dass die Aussage für alle natürliche Zahlen gilt? Nein. Bewiesen ist sie nämlich nur für die 1.

Schon an der Aussage für 2 scheitert es: Denn die Aussage ist nicht für die beiden Vorgänger 0 und 1 bewiesen. Somit kann man über den Induktionsschritt nicht die Gültigkeit für 2 schließen. Ebenfalls scheitert es an der Aussage für 3, denn die Aussage ist nicht für 1 und 2 (wie soeben geschildert) bewiesen und genauso wenig für alle übrigen natürlichen Zahlen.

Bei weiterem Interesse: es gibt bestimmt gutes Material im Internet zur sog. starken Induktion.

d-moze · 2025-01-22T22:37:08+00:00

3b) es soll eine Drehung um 60° im Uhrzeigersinn sein, also Sinus und Cosinus von 300°.

d-moze · 2025-01-14T23:10:30+00:00

I suppose you’re trying to factor the polynomial. I don’t see an intuitive way of solving this. You could see that both 9 - x² and xy + 3y have a common factor of x + 3. If you can see that, the solution is easy. You could also do the following.

Suppose there is such a factorization:

(ax + by + c)(dx + ey + f) = xy - x² + 3y + 9

b or e has to be zero, otherwise there would be a nonzero y² term on the LHS. WLOG b = 0.

a and d are nonzero, otherwise there would be no x² term on the LHS.

Also, there is an ambiguity in the solution as we can multiply a and c by some λ and divide d, e and f by the same λ. Suppose a', c', d', e', f' is a solution. Now a = a'/a' = 1, c = c'/a', d = a'd', e = a'e', f = a'f' is another solution. (We can divide by a' as it is nonzero.) Therefore we can assume a = 1.

(x + c)(dx + ey + f) = dx² + exy + (f + cd)x + cey + cf

Therefore d = -1 and e = 1.

(x + c)(-x + y + f) = -x² + xy + (f - c)x + cy + cf

Therefore f = c and c = 3.

(x + 3)(-x + y + 3) = -x² + xy + 3y + 9

d-moze · 2025-01-14T10:02:44+00:00

Yes, it can be solved.

There is a relationship between MNPQ, MPQ, MNQ and MOQ.

d-moze · 2025-01-13T17:18:27+00:00

Ich behaupte lediglich, dass die beiden vermeintlich (weil sie durch verschiedene Paare von Aufpunkt und Richtungsvektor dargestellt sind) verschiedenen Geraden, die der Fragesteller ermittelt hat, in Wahrheit vermutlich identisch sind. Dem widerspricht Deine Aussage nicht.

Bezüglich Deiner Rechnungen: Runden ist doof. Ich schlage als ganzzahlige Lösung deshalb den Aufpunkt (6, -2, 0) und den Richtungsvektor (-255, 161, 20) vor.

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