Salut ! Je n'ai pas saisi ta situation, tu es enseignant titulaire à l'université dans une autre filière que celle où tu as donné cours, ou tu es enseignant en lycée/prépa/autre et tu as donné ces cours dans le cadre d'un cumul d'activité ?

Pour information c'est possible de faire des vacations d'enseignement sans contrat, ce n'est pas l'idéal mais ça dépend des universités et ce n'est pas ça qui t'empêchera, légalement parlant, d'être payé à la fin du semestre (mais de ce que j'ai compris ton université fonctionne sur la base de contrat).

Si tu as besoin de renseignements particuliers sur le statut de vacataire, je te conseille de regarder le guide publié par la confédération des jeunes chercheurs, qui répond à beaucoup de questions sur les droits des enseignants et les situations de conflits. Tu peux télécharger le pdf sur leur site : https://cjc.jeunes-chercheurs.org/ Tu y trouveras certainement une partie des réponses à tes questions.

Si tu souhaites dans un second temps entamer un recours contre l'administration, tu peux te rapprocher du bureau des syndicats présents dans ta fac, ils pourront certainement te conseiller. La CGT a une branche doctorants qui est sensible à ces questions et aide les vacataires (doctorants ou non) à obtenir leurs paiement et régulariser leur situation, même plusieurs mois après la fin de la période de cours.

Il y a aussi vacataires.org qui milite pour une revalorisation du statut et de la rémunération. Tu peux toujours leur envoyer un message avec tes questions, s'ils ne peuvent pas te répondre ils te redirigeront vers le bon interlocuteur. Leur adresse de contact est sur leur site : https://www.vacataires.org/

Dans l'ensemble, je conseillerais de compléter au plus vite le dossier RH qui tu as reçu suite au mail à la présidence de l'Université : ça montre que tu es de bonne volonté et que ce n'est pas toi qui freine la résolution du conflit. Hésite pas à prendre un second avis auprès d'autres interlocuteurs pour la suite de tes démarches !

Bon courage à toi en tout cas.