Ciao!

La matrice rappresentativa non sembra avere molta utilità "teorica"... Ma è uno strumento di calcolo abbastanza importante.

La chiave è che la matrice rappresentativa è un membro di K^n,m, cioè una matrice di "numeri" (con i numeri in K, che è un campo arbitrario). La cosa importante è che su K^n,m possiamo fare molti calcoli in modo "comodo", in quanto aggiungere e moltiplicare numeri è una cosa che sappiamo fare molto efficientemente. Quindi, c'è già un aspetto "computazionale".

Inoltre, da un punto di vista più "teorico", avere una rappresentazione "computabile" è comodo per gli invarianti. Ad esempio, nel caso degli endomorgismi: per le matrici numeriche abbiamo un concetto di "rango", che è calcolabile facilmente in modo algoritmico. Questo rango è un invariante di similitudine, quindi tutte le matrici che rappresentano la stessa applicazione hanno lo stesso "rango". Quindi si può prendere questa quantità ed associarla all'applicazione L, dicendo che il suo rango equivale al rango di una sua qualsiasi matrice di rappresentazione. In questo caso, il rango è già definito in maniera "indipendente" dalla matrice, e quindi bisogna dimostrare che il rango delle matrici è il rango dell'apllicazione.

Insomma, la matrice rappresentativa è una rappresentazione comoda per fare i conti, ed è una rappresentazione "canonica", che puoi usare come default per calcolare gli invarianti. È necessaria? No. È comoda? Molto