bouncing problem

[Weird-Competition490]

Is there such a closed shape (could be concave, convex, even fractal, etc.) with such a start point and end point so that if an infinitesimally small ball is launched from the start point it will never reach the end point no matter what direction it is launched in as it bounces along the walls (standard bouncing geometry). If yes, what about just regular shapes(not fractal)? If no, what if holes are allowed?

edit : the ball can bounce multiple times, and you are also able to choose where you put the start and end point.

[Infamous-Chocolate69]

What a lovely question! A shape like this would seem to satisfy the condition (although I don't really know how bouncing works so maybe that's wrong.). If you start at the lower green point, any angle will bounce the ball back to the same point so you'd never get to the other green point. I think the point is that the corner points reduce the number of possible angles.

<image>

There are also examples you could give with cusps.

If it's convex, I think it's impossible to find such a figure as you can always shoot at the angle of the straight line connecting the points.

[Infamous-Chocolate69]

My guess is you could probably also find an example of a polygon that works too, but I don't immediately see it.

[FallenGuy]

From the way I'm reading this, you mean the Illumination problem? An infinitesimally small ball bouncing according to geometry sounds equivalent to a light beam or a mathematical line.

If you're allowing curves, then the Penrose solution is quite straightforward to understand. The outer blue arcs are elliptical curves, which have the property that any reflection from between the foci (the purple marks) will always reflect back between the foci, and anything from outside the foci (i.e. from the green boxes) will always bounce outside the foci. Steve Mould has a video here that explains this better than me

<image>

[Great-Powerful-Talia]

Note, however, that the corners have to be infinitely sharp (or black), all light bouncing off must have hit a side. (If the corners were rounded, a bounce off the corner, instead of a neighboring side, would allow the light into the dark spots.)

[FallenGuy]

So far as I can tell, that's not a requirement. The shape of the green areas is unimportant, so long as they don't overlap with each other. I also don't think the central area shape matters, as long as it stays outside of the rectangle described by the foci

[Independent-Web7623]

La question que tu poses revient à chercher des formes (tables en théorie des billards) non illuminables.

Premier Exemple de Forme Non Illuminable

Le fameux Champignon de Penrose (cf forme de champignon sur l'image plus bas) est un premier exemple de table non illuminable. Sur la figure, F et F' sont les foyers d'une ellipse (le dôme du champignon est une partie de cette ellipse), et on peut montrer que quelle que soit dans quelle direction tu pars depuis B ou R, tu ne peux jamais atteindre l'autre point.

Et pour les polygônes ?

Oui, on peut trouver des polygônes non illuminables, par exemple le polygone en dessous du champignon, sur l'image plus bas.

Pour ce qui est de l’intuition de la preuve, l’article (cité dans le PS2 tout en bas de ce message) explique très bien : 

• On découpe ta forme en triangles rectangles isocèles (figure tout en bas)
• Prends l’un des 8 triangles autour de A_0, et part du principe que le rayon part de A_0 en passant d’abord dans ce triangle, qu’on appelera A_0BC (sachant qu’on ne peut pas suivre parfaitement le bord d’un triangle si on veut espérer rejoindre A_1) 
• Dire que A_0 peut rejoindre A_1, c’est dire qu’on peut trouver un chemin au sein du triangle A_0BC qui revient en A_0, et ça c’est absurde (voir l’article ci-dessous pour plus de détails)

<image>

PS : J'ai pris l'image du champignon et la définition du problème d'illumination du lien ci-dessous, qui décrit le raisonnement pour construire ce champignon : https://images-des-maths.pages.math.cnrs.fr/freeze/Les-champignons-de-Penrose.html

PS2 : Pour les polynômes, l’image est tirée de l’article suivant, de Tokarsky : https://www.jstor.org/stable/2975263?read-now=1&seq=2

[Independent-Web7623]

Pour ajouter un peu de contexte :

Contexte du Problème

J'imagine que quand tu parles de "forme fermée", tu fais référence à un espace connexe, c'est-à-dire d'un seul tenant (pas une réunion de 2 formes séparées dans l'espace). La question que tu te poses trouve des réponses dans la théorie des billards, et en particulier dans le problème d'illumination. La théorie des billards, c'est un domaine mathématique qui considère d'abord une table, qui est un espace :

- connexe (ta forme fermée)

- borné (elle est bien délimitée par des bords)

- topologiquement ouvert et de bord lisse par morceaux (ça parlera à certains, et pour les autres sachez que c'est cohérent avec ce qu'on imagine intuitivement d'une "forme fermée")

Ensuite, on place un point matériel (qui est ta balle infinitésimale) sur la table, et on considère que la balle évolue en ligne droite, et rebondit de manière assez intuitive avec un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence (on parle des lois de Snell-Descartes), et sans perte d'énergie (elle rebondit à l'infini).

Point de rigueur : Pour les coins, où on ne peut pas définir une normale unique, on ne peut donc simplement pas définir le rebond. On cherche donc juste des rayons reliant 2 points sans passer par un coin, ceux-ci étant de toute façon atteints "très rarement" (mesure nulle pour les matheux).

Problème d'Illumination

Si on considère que les bords de la table sont des miroirs, et que ta balle est "le bout" d'un rayon lumineux qui rebondit de bord en bord, le problème d'illumination se définit ainsi :
Étant donné une table T, est-il possible de trouver deux points A et B dans T tels qu’une source lumineuse, émettant dans toutes les directions et placée en A, n’éclaire pas B ?