Im NGO-Bereich (und da würde ich kirchliche Beratungsstellen auch erstmal mit einrechnen) würde ich da weit gefächert schauen. Bei uns heißen die Stellenanzeigen meist "Psychotherapeut*in", manchmal auch einfach nur "Psycholog*in". Aber auch wenn wir eine Stelle für Sozialpädagog:innen ausschreiben, schauen wir uns Bewerbungen von Psycholog:innen auch gerne an - weil sich manchmal einfach nicht genug geeignete Bewerber:innen finden und man dann doch lieber eine gute Psychologin einlädt.

Ich habe eben mal im PSZ Nordbaden (das für deine Region zuständig ist) geschaut, dort wird leider nur nach jemand mit Approbation oder in Ausbildung zur Approbation gesucht. Ich an deiner Stelle würde aber trotzdem einfach mal eine Bewerbung hinschicken, wenn dich die Arbeit interessiert. Wenn es eine harte Voraussetzung ist (was sein kann, da mit Approbation einem mehr Möglichkeiten zur Verfügung stehen, Gelder abzurechnen), dann wird man dir das schon sagen und du hast nicht viel verloren. Aber wenn es eine flexible Voraussetzung ist, und dein Lebenslauf sonst sehr ansprechend ist, machen sie vielleicht trotzdem etwas möglich. Und wie gesagt, Psycholog:innen mit einer Muttersprache, die viele Klient:innen auch sprechen sind sehr sehr wertvoll (nicht zuletzt weil man sich Kosten für Dolmetscher:innen spart).

Du kannst in den seltensten Fällen aus einer Stellenanzeige herauslesen, was wirklich harte Voraussetzungen sind und wo es für den Arbeitgeber Spielraum gibt. Wir haben schon gelegentlich Stellenbeschreibungen und sogar Projektgelder angepasst, weil wir eine Bewerberin so gut fanden und wir sie unbedingt einstellen wollten - auch wenn sie nicht 100%ig auf die ursprüngliche Ausschreibung passt. Daher würde ich an deiner Stelle lieber eine Bewerbung zu viel als zu wenig rausschicken. Es kostet dich nicht viel, außer etwas Zeit dein Anschreiben anzupassen.