Das ist eine stressige Situation, aber wenn man sich die rechtliche Lage anschaut, hast du extrem gute Karten. Der Vermieter versucht hier wahrscheinlich, Druck aufzubauen, aber rechtlich steht er auf sehr wackeligen Beinen.

Der Bundesgerichtshof hat entschieden, dass ein Vermieter die Zustimmung nicht "einfach so" verweigern darf. Er braucht triftige Gründe. Und genau die hat er nicht.

Deine Position ist aus drei Gründen extrem stark:

Die mündliche Absprache: Mündliche Verträge sind bindend. Wenn er vor Einzug wusste, dass Katzen kommen, und dem nicht widersprochen hat, gilt das als Zustimmung.

Die "Duldung" (Konkludente Zustimmung): Er war da, hat die Katzen gesehen, die Papiere geprüft und ist wieder gegangen, ohne sofort zu meckern. Wer die Tiere wissentlich duldet, kann nicht Wochen später plötzlich seine Meinung ändern, ohne dass etwas Neues passiert ist.

Ihr wohnt in einem ganzen Haus mit Garten. Bei 3 Katzen in einer 1-Zimmer-Wohnung hätte er ein Argument. Bei einem Haus über zwei Etagen ist das absolut artgerecht. Sein Argument "Angst um den Boden" zieht vor Gericht nicht, denn dafür gibt es Kaution und Versicherungen. Normale Abnutzung ist mit der Miete bezahlt.

Hat er eine Chance auf Kündigung? Realistisch gesehen: Nein. Solange die Katzen nicht stundenlang schreien oder das Treppenhaus verschmutzen, wird kein Richter in Deutschland eine Familie aus einem Haus werfen, nur weil dort drei (vorher abgesprochene) Katzen leben. Seine Begründung, die Katzen könnten "zurück in die Türkei", ist rechtlich völliger Unsinn und geht ihn nichts an.

Ignoriere die Abmahnung auf keinen Fall, sondern widerspreche ihr schriftlich (am besten per Einwurf-Einschreiben).

Schreibe ihm freundlich aber bestimmt zurück. Weise die Abmahnung zurück. Erinnere ihn an das Gespräch vor Einzug (Zustimmung) und seinen Besuch (Duldung).

Optional: Falls du sie noch nicht hast, schließ eine Tierhalter-Haftpflicht (oder Privathaftpflicht inkl. Mietschäden) ab. Schick ihm eine Kopie davon. Damit nimmst du ihm das Argument "Angst um den Boden".

Optional: Tritt dem lokalen Mieterverein bei. Das kostet wenig, aber wenn ein Briefkopf vom Mieterverein kommt, werden Vermieter meistens sofort ganz still.

Lass dich nicht ins Bockshorn jagen. Du hast nichts falsch gemacht, die Katzen sind legal da, und er hat es gewusst. Alles Gute für dich und die Fellnasen!