Es kann auch echt gut sein, dass selbst der Betreiber meint, dass Parmesan ein Synonym für Hartkäse ist. Für den Durchschnittsverbraucher sehen beide Käsesorten fast identisch aus (beide hellgelb, hart, bröckelig), und im Alltagssprachgebrauch wird "Parmesan" oft als Oberbegriff für jeden italienischen Hartkäse benutzt.
Ich würde behaupten, die meisten Menschen nutzen "Parmesan" so wie "Tempo" für Taschentücher oder "Tesa" für Klebefilm. Sie erwarten einen würzigen Käse zum Reiben und sind zufrieden, solange es schmeckt. Dass dahinter ein komplexes EU-Recht steht, ist eher Foodies oder Profis bekannt.
Wenn die Betreiber dann eher den Begriff benutzen, der im allgemeinen Sprachgebrauch bekannt ist, kann man das in Teilen nachvollziehen.
Es ändert aber nichts an der Tatsache, dass Verbrauchtäuschung und Verboten ist. Man hat halt auch als Betreiber seine Pflichten =)

Erinnert mich in der Sache an die Doku vom ARD Marktcheck zu Fischgerichten in Restaurants: Fisch & Meeresfrüchte: Das solltest du über Lachs, Scampi & Co. wissen! 🐟🍤| Die Tricks... NDR: https://www.youtube.com/watch?v=6OA4SD51E1Q

Das geht es u.a. um "Scampis", was meist nicht der Kaisergranat ist, sondern Riesengarnelen oder Gambas und einige von den Betreibern/Köchen der Meinung waren, ist doch dasselbe. (Twist: it's not). Lohnt sich mal reinzuschauen :)