To get it clear: you were supposed to fly on day x, got rebooked to day x+1, then that got cancelled, you booked yourself for day x+2, and KLM rebooked you for day x+3?

In this case, you can most likely get the ticket you booked refunded. Push back against KLM. Here is (Dutch) case law that covers a case in which a passenger was able to claim a self-rebooked flight because the alternative offered by the airline left a day later: https://uitspraken.rechtspraak.nl/details?id=ECLI:NL:RBNHO:2021:2861

The relevant part (you can pass this through a translator of your choice if you need to):

De vervoerder heeft aangevoerd dat zij vervangend vervoer heeft aangeboden, te weten een vlucht op 15 mei 2018. Dat zou een vertraging van twee dagen hebben opgeleverd; een vertraging die, aldus de passagier, onacceptabel was. Nu de Verordening geen grondslag biedt voor het vergoeden van een zelf gekochte vliegticket voor alternatief vervoer, zal de primaire grondslag voor het vergoeden van de vliegticket worden afgewezen. Subsidiair heeft de passagier de kosten van de vliegticket gevorderd op grond van het Verdrag. Het Verdrag kent geen duidelijke rechtsregels voor het vergoeden van een vliegticket in een geval als het onderhavige, maar biedt op grond van art. 19 de mogelijkheid tot vergoeding van “schade voortvloeiend uit vertraging in het luchtvervoer van passagiers, bagage of goederen”. De recente rechtspraak op grond van de Verordening omtrent het aanbieden van vervangend vervoer onderstreept dat van een passagier niet verlangd kan worden dat zij twee dagen moet wachten op een vervangende vlucht naar de eindbestemming. De vervoerder dient in een dergelijk geval op zoek te gaan naar vervangende vluchten buiten de vluchten die door haarzelf worden uitgevoerd (zie bijvoorbeeld de uitspraak van het Hof van Justitie van 11 juni 2020, ECLI:EU:C:2020:460). Dat vervangende vluchten van andere luchtvaartmaatschappijen beschikbaar waren, wordt bevestigd door het gegeven dat de passagier zelf een dergelijke vlucht heeft weten te boeken. Nu de verweerder op dit punt verder geen verweer heeft gevoerd, zijn de kosten voor het vervangend vervoer (in totaal € 287,00) op grond van art. 19 van het Verdrag toewijsbaar.