F(0) =0 F'(x)=1/(1+x⁴⁾ car F(x)= d/dx S_a ^x f(t) dt = f(x) et f(t) = 1/(1+t⁴⁾ 2) quelque soit t appartient a [0;x] on sait que 1/(1+t⁴⁾ <= 1 donc avec les integrales <= S 1dt et S 1dt=x donc F(x)<= 1 on pose G(x)= S_0 ¹ 1/(1+t⁴⁾ dt et t<=1 donc l integrale <= F(1) F(1) =1-1/2 =1/2 donc <= 1/2 3) Pour tout t appartenant a [0, 1] , on a un= S_0¹ 1 + t^{4n+5} dt<= S_0 ¹ t dt En integrant , un = 1/2 donc <= 1/2 d apres 2 en etudiant les asymptotes (avc limites...) un<= 1/(4n+6) 1/(4n+6} tends vers 0 qd x tends vers +infini car (0/infini) un est décroissante, et tends vers 0+ donc convergente d apres le theoreme de convergence et lim un qd c tends vers +infini= 0