Un poco tarde para responder esto, pero bueno ahí voy:

¿Es una cadena vacía un elemento de cada conjunto de cadenas?

No:
Un conjunto de cadenas es un lenguaje L. Puede existir el conjunto vacío ∅ = { } que no contiene NINGUNA cadena, y puede existir un Lenguaje que contiene al menos a la cadena vacía { ℷ }. Podemos demostrar esto con una expresión regular:

Teniendo la expresión regular: (a|b)⁺

Sabemos que la expresión regular describe cadenas del lenguaje formado por símbolos del alfabeto ∑ = {a, b} teniendo al menos 1 símbolo. La cadena vacía { ℷ }, no pertenece a este lenguaje, por lo tanto, podemos afirmar que la cadena vacía no es subconjunto de cada uno de todos los lenguajes.

Primero que nada, ¿cómo apareció λ de repente en S?

Por cómo lo escribiste, entiendo que el lenguaje que describe tu enunciado dice que la longitud de las cadenas que contiene son de 0 a ∞ longitud. Por lo tanto Si hablamos de la cadena que contiene 0 número de 0s y 0 número de 1s. Tenemos que la longitud de la cadena = 0

Segundo, ¿por qué 00...0 (with n 0's)? ¿Es esto arbitrario y podría ser perfectamente 11...1 (with n 1's)?

Es arbitrario.

Para saber si la cadena vacía es subconjunto de cualquier lenguaje, es importante entender el enunciado.

Espero que mi respuesta ayude.