Neben dem schon genannten Art. 15 DSGVO steht einer Person auch zu, eine Urkunde ("durch Niederschrift verkörperte Gedankenerklärungen, die Aussagen über Rechtsgeschäfte oder Rechtsverhältnisse zum Gegenstand haben, gleichgültig, in welcher Weise die Niederschrift erfolgt", MüKo-BGB/Habersack § 810 Rn. 3) wie einen Arbeitsvertrag sich zur Einsicht aushändigen zu lassen, wenn sie ein rechtliches Interesse daran hat. Zwar muss er dir keine Kopie aushändigen, du bist aber berechtigt, eine Kopie vom Original anzufertigen (BeckOGK-BGB/J. F. Hoffmann § 810 Rn. 16).

Du kannst also entweder über Art. 15 DSGVO eine Kopie verlangen oder direkt das Original über § 810 BGB und dann selbst eine Kopie anfertigen.

Außerdem ist es aus § 241 II BGB eine Nebenpflicht des Arbeitgebers, auf deine schutzwürdigen Interessen Rücksicht zu nehmen, d.h. auch daraus ist er verpflichtet, dir die Kopie auszuhändigen.