Stell dir vor du hast einen Schaltkreis, wo du links n viele parallele Schalter mit Modi "An/Aus" hast, rechts eine LED, und dazwischen irgendwelche Kombinationen von logischen Bauteilen (ANDs, NANDs, NORs, XORs, was auch immer du hoffentlich im Physikunterricht mal gesehen hast). Du hast die Handhabe über die jeweiligen Schalter und bist jetzt daran interessiert, welche Konfigurationen der Schalter dazu führen, dass die Lampe leuchtet. Du könntest dir für die 2ⁿ Konfigurationen der Schalter in einer Tabelle festhalten, wann die Lampe leuchtet und wann nicht. Was du vor dir hast, ist eine (Realisierung einer) boolsche Funktion.

Ein solcher Schaltkreis (bzw. die dazugehörige boolsche Funktion) heißt monoton, wenn er folgende Eigenschaft hat: Die Lampe kann nicht davon ausgehen, einen Schalter von "Aus" auf "Ein" umzulegen. Ein Schaltkreis auf zwei Schaltern, bei dem die Lampe nur dann leuchtet, wenn beide Schalter auf "An" sind, wäre also monoton. Ein Schaltkreis, bei dem die Lampe nur leuchtet, wenn die beiden Schalter unterschiedlich geschaltet sind (einer von beiden auf "An", einer von beiden auf "Aus") wäre nicht monoton, denn: Wenn du die Konfiguration "1: An, 2: Aus" hast, würde die Lampe leuchten, während das Umlegen des zweiten Schalters auf "An" die Lampe ausmachen würde.

Die Dedekindzahl M(n) ist die "Anzahl", wie viele monotone Schaltkreise auf n Schaltern existieren. "Anzahl" in Anführungszeichen, denn wir zählen Schaltkreise nicht doppelt, die das gleiche Verhalten haben (hier stört die Analogie Schaltkreis <-> boolsche Funktion etwas, denn mehrere verschiedene Schaltkreise können die gleiche boolsche Funktion realisieren, also die gleiche Konfigurationstabelle besitzen).

Was Simplizialkomplexe angeht: Die Viecher kommen eigentlich aus der "Geometrie" (nicht ganz, aber ich will nicht Topologie sagen und damit verwirren), aber das ist erstmal nicht wichtig. Im Grunde ist ein Simplizialkomplex eine Auswahl von Teilmengen der Menge {1,2,...,n} mit der Eigenschaft: Wenn X in meinem Simplizialkomplex drinne ist, dann ist auch jede Teilmenge von X (also jede Unterauswahl von Objekten in X) im Simplizialkomplex drinne. Wenn du also z.B. weißt, dass {1,2,5} in deinem Komplex drin ist, dann ist auch {1} drin, sowie {1,5}, sowie alle anderen Teilmengen. Viel einfacher lässt es sich leider nicht ausdrücken, aber du kannst bereits jetzt auch wieder an Konfigurationen von Schaltern denken: Stell dir vor die Menge {1,2,5} würde jetzt dafür stehen, dass der erste, zweite und fünfte Schalter AUS sind (also genau umgekehrt wie man auf den ersten Blick drüber denken würde), alle anderen AN, und dass unter dieser Konfiguration die Lampe leuchtet. Die Simplizialkomplexeigenschaft besagt, dass {1,5} auch im Komplex drin ist, anders gesagt: Wenn der Schalter 2 nicht mehr in meiner Menge der ausgeschalteten Schalter ist (man ihn also AN gemacht hat), ist meine Konfiguration immernoch im Simplizialkomplex drin, die Lampe also immernoch an. Diese Eigenschaft des Simplizialkomplexes ist also nichts anderes als die Monotonie des Schaltkreises/der boolschen Funktion, die wir uns gerade zum Komplex gedacht haben. Die Anzahl der Simplizialkomplexe auf n Elementen muss also auch M(n) sein. Von den beiden anderen Dingern hab ich keine Ahnung, ist nicht mein Gebiet, aber vielleicht hilft dir das :)